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INTEGRALIS · PROBLEM STATEMENT DICTIONARY

問題文・関数辞典

ADVANCEDの問題文・解説・公式集に現れる特殊関数について、INTEGRALISで用いる標準表記と定義を固定します。

公式集・追加要望答案表記辞典
問題文で使用できる関数と、最終答案でJudgeが受理する関数は別です。 この辞典に掲載された関数は問題文の数学的語彙として使用できますが、それだけで最終答案として入力可能になるわけではありません。
第一種完全楕円積分第二種完全楕円積分正弦積分余弦積分指数積分リーマンゼータ関数多重対数関数ガンマ関数下側不完全ガンマ関数上側不完全ガンマ関数ベータ関数ジガンマ関数トリガンマ関数Gauss超幾何関数

第一種完全楕円積分

Complete Elliptic Integral of the First Kind

K(k)
K(k)=∫0π/2dt1−k2sin⁡2t=π2 2F1 ⁣(12,12;1;k2)K(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}}=\frac{\pi}{2}\,{}_2F_1\!\left(\frac12,\frac12;1;k^2\right)K(k)=∫0π/2​1−k2sin2t​dt​=2π​2​F1​(21​,21​;1;k2)

・INTEGRALISでは引数にparameter mではなくmodulus kを用います。

・公式集では補助記号 \kappa(x):={}_2F_1\!\left(\frac12,\frac12;1;x\right) を用いる場合があります。

DLMF reference ↗

第二種完全楕円積分

Complete Elliptic Integral of the Second Kind

E(k)
E(k)=∫0π/21−k2sin⁡2t dt=π2 2F1 ⁣(−12,12;1;k2)E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2 t}\,dt=\frac{\pi}{2}\,{}_2F_1\!\left(-\frac12,\frac12;1;k^2\right)E(k)=∫0π/2​1−k2sin2t​dt=2π​2​F1​(−21​,21​;1;k2)

・第一種と同じくmodulus k規約を用います。

DLMF reference ↗

正弦積分

Sine Integral

\mathrm{Si}(z)
Si(z)=∫0zsin⁡tt dt\mathrm{Si}(z)=\int_0^z\frac{\sin t}{t}\,dtSi(z)=∫0z​tsint​dt

・Siは奇関数で、複素平面全体で正則です。

・小文字の \mathrm{si}(z) は別規約なので、問題文では原則として大文字の Si を使用します。

DLMF reference ↗

余弦積分

Cosine Integral

\mathrm{Ci}(z)
Ci(z)=−∫z∞cos⁡tt dt\mathrm{Ci}(z)=-\int_z^{\infty}\frac{\cos t}{t}\,dtCi(z)=−∫z∞​tcost​dt

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とします。負の実軸と原点に関係する枝の扱いが必要です。

・枝が解答に本質的に影響する問題では、問題文側で領域または枝を明示します。

DLMF reference ↗

指数積分

Exponential Integral

\mathrm{Ei}(x)
Ei(x)=PV ⁣∫−∞xett dt(x∈R, x≠0)\mathrm{Ei}(x)=\mathrm{PV}\!\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt\qquad(x\in\mathbb{R},\ x\ne0)Ei(x)=PV∫−∞x​tet​dt(x∈R, x=0)

・実数引数ではCauchy主値によるEiを標準とします。

・複素引数を用いる場合は枝の曖昧さを避けるため、問題文で規約を明示します。

DLMF reference ↗

リーマンゼータ関数

Riemann Zeta Function

\zeta(s)
ζ(s)=∑n=1∞1ns(Re⁡s>1)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\qquad(\operatorname{Re}s>1)ζ(s)=n=1∑∞​ns1​(Res>1)

・Re(s)>1ではDirichlet級数で定義し、それ以外では解析接続された標準的なRiemannゼータ関数を意味します。

・s=1は留数1の単純極です。

DLMF reference ↗

多重対数関数

Polylogarithm

\mathrm{Li}_s(z)
Lis(z)=∑n=1∞znns(∣z∣<1)\mathrm{Li}_s(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^s}\qquad(|z|<1)Lis​(z)=n=1∑∞​nszn​(∣z∣<1)

・級数の収束域外では解析接続された標準的なpolylogarithmを意味します。

・特殊値として \mathrm{Li}_s(1)=\zeta(s) の対応があります。

・枝が本質的になる複素引数では、問題文で領域または主値規約を明示します。

DLMF reference ↗

ガンマ関数

Gamma Function

\Gamma(z)
Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt(Re z>0)\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\mathrm{Re}\,z>0)Γ(z)=∫0∞​tz−1e−tdt(Rez>0)

・Re(z)>0ではEulerの積分で定義し、それ以外では解析接続された標準的なガンマ関数を意味します。

・z=0,-1,-2,… に単純極をもち、零点はもちません。

DLMF reference ↗

下側不完全ガンマ関数

Lower Incomplete Gamma Function

\gamma(a,z)
γ(a,z)=∫0zta−1e−t dt(Re a>0)\gamma(a,z)=\int_0^z t^{a-1}e^{-t}\,dt\qquad(\mathrm{Re}\,a>0)γ(a,z)=∫0z​ta−1e−tdt(Rea>0)

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とし、必要に応じて解析接続された値を用います。

・上側不完全ガンマ関数との間に \gamma(a,z)+\Gamma(a,z)=\Gamma(a) の関係があります。

DLMF reference ↗

上側不完全ガンマ関数

Upper Incomplete Gamma Function

\Gamma(a,z)
Γ(a,z)=∫z∞ta−1e−t dt\Gamma(a,z)=\int_z^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,dtΓ(a,z)=∫z∞​ta−1e−tdt

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とします。

・\Gamma(z) と \Gamma(a,z) は引数の個数で区別します。

DLMF reference ↗

ベータ関数

Beta Function

\mathrm{B}(a,b)
B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1 dt=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)(Re a,Re b>0)\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\qquad(\mathrm{Re}\,a,\mathrm{Re}\,b>0)B(a,b)=∫01​ta−1(1−t)b−1dt=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)​(Rea,Reb>0)

・INTEGRALISではベータ関数を立体の \mathrm{B}(a,b) で表します。

・積分表示の収束域外では、右辺のガンマ関数による表示から解析接続された値を意味します。

DLMF reference ↗

ジガンマ関数

Digamma Function

\psi(z)
ψ(z)=Γ′(z)Γ(z)=ddzln⁡Γ(z)\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)ψ(z)=Γ(z)Γ′(z)​=dzd​lnΓ(z)

・ガンマ関数の対数微分として定義します。

・z=0,-1,-2,… に単純極をもちます。

DLMF reference ↗

トリガンマ関数

Trigamma Function

\psi^{(1)}(z)
ψ(1)(z)=ddzψ(z)\psi^{(1)}(z)=\frac{d}{dz}\psi(z)ψ(1)(z)=dzd​ψ(z)

・INTEGRALISではジガンマ関数の一階導関数をトリガンマ関数とします。

・一般の \psi^{(m)}(z) を問題文で用いる場合は、その都度出題範囲を確認します。

DLMF reference ↗

Gauss超幾何関数

Gauss Hypergeometric Function

{}_2F_1(a,b;c;z)
2F1(a,b;c;z)=∑n=0∞(a)n(b)n(c)n n!zn(∣z∣<1){}_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\,n!}z^n\qquad(|z|<1)2​F1​(a,b;c;z)=n=0∑∞​(c)n​n!(a)n​(b)n​​zn(∣z∣<1)

・級数の収束域外では解析接続されたGauss超幾何関数を意味します。

・複素zではDLMFの主枝を基準とし、枝の選択が答えに影響する場合は問題文で明示します。

・(a)_n はPochhammer記号です。

DLMF reference ↗

問題文辞典の運用方針

複数の慣習が存在する記号は、文脈任せにせずINTEGRALIS側で一つの規約をここに固定します。

複素関数で枝の選択が答えに影響する場合は、問題文側で領域または枝を明示します。

未掲載の関数は特殊関数・公式集の追加要望から提案でき、表記と定義を審査したうえでこの辞典へ追加します。