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INTEGRALIS · PROBLEM STATEMENT DICTIONARY

問題文・関数辞典

ADVANCEDの問題文・解説・公式集に現れる特殊関数について、INTEGRALISで用いる標準表記と定義を固定します。

公式集・追加要望答案表記辞典
問題文で使用できる関数と、最終答案でJudgeが受理する関数は別です。 この辞典に掲載された関数は問題文の数学的語彙として使用できますが、それだけで最終答案として入力可能になるわけではありません。
第一種完全楕円積分第二種完全楕円積分第三種完全楕円積分正弦積分余弦積分指数積分誤差関数相補誤差関数対数積分エアリー関数第二種エアリー関数第一種ベッセル関数第二種ベッセル関数第一種変形ベッセル関数第二種変形ベッセル関数リーマンゼータ関数多重対数関数フルヴィッツゼータ関数ランベルトのW関数ガンマ関数下側不完全ガンマ関数上側不完全ガンマ関数ベータ関数ポリガンマ関数合流型超幾何関数Gauss超幾何関数

第一種完全楕円積分

Complete Elliptic Integral of the First Kind

K(k)
K(k)=∫0π/2dt1−k2sin⁡2t=π2 2F1 ⁣(12,12;1;k2)K(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}}=\frac{\pi}{2}\,{}_2F_1\!\left(\frac12,\frac12;1;k^2\right)K(k)=∫0π/2​1−k2sin2t​dt​=2π​2​F1​(21​,21​;1;k2)

・INTEGRALISでは引数にparameter mではなくmodulus kを用います。

・公式集では補助記号 \kappa(x):={}_2F_1\!\left(\frac12,\frac12;1;x\right) を用いる場合があります。

DLMF reference ↗

第二種完全楕円積分

Complete Elliptic Integral of the Second Kind

E(k)
E(k)=∫0π/21−k2sin⁡2t dt=π2 2F1 ⁣(−12,12;1;k2)E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2 t}\,dt=\frac{\pi}{2}\,{}_2F_1\!\left(-\frac12,\frac12;1;k^2\right)E(k)=∫0π/2​1−k2sin2t​dt=2π​2​F1​(−21​,21​;1;k2)

・第一種と同じくmodulus k規約を用います。

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第三種完全楕円積分

Complete Elliptic Integral of the Third Kind

\Pi(n,k)
Π(n,k)=∫0π/2dt(1−nsin⁡2t)1−k2sin⁡2t\Pi(n,k)=\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{(1-n\sin^2 t)\sqrt{1-k^2\sin^2 t}}Π(n,k)=∫0π/2​(1−nsin2t)1−k2sin2t​dt​

・INTEGRALISでは第1引数にcharacteristic n、第2引数にmodulus kを用います。

・実数積分としては、特記がない限り n<1,\ |k|<1 の範囲を標準とします。複素引数ではDLMFの主値規約を用います。

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正弦積分

Sine Integral

\mathrm{Si}(z)
Si(z)=∫0zsin⁡tt dt\mathrm{Si}(z)=\int_0^z\frac{\sin t}{t}\,dtSi(z)=∫0z​tsint​dt

・Siは奇関数で、複素平面全体で正則です。

・小文字の \mathrm{si}(z) は別規約なので、INTEGRALISでは大文字の Si に表記を固定します。

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余弦積分

Cosine Integral

\mathrm{Ci}(z)
Ci(z)=−∫z∞cos⁡tt dt\mathrm{Ci}(z)=-\int_z^{\infty}\frac{\cos t}{t}\,dtCi(z)=−∫z∞​tcost​dt

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とします。負の実軸と原点に関係する枝の扱いが必要です。

・特記がない限り、複素引数にもDLMFの主値規約を適用します。

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指数積分

Exponential Integral

\mathrm{Ei}(x)
Ei(x)=PV ⁣∫−∞xett dt(x∈R, x≠0)\mathrm{Ei}(x)=\mathrm{PV}\!\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt\qquad(x\in\mathbb{R},\ x\ne0)Ei(x)=PV∫−∞x​tet​dt(x∈R, x=0)

・実数引数ではCauchy主値によるEiを標準とします。

・複素引数でも、特記がない限りDLMFの主値規約を用います。

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誤差関数

Error Function

\operatorname{erf}(z)
erf⁡(z)=2π∫0ze−t2 dt\operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2}\,dterf(z)=π​2​∫0z​e−t2dt

・INTEGRALISでは立体の \operatorname{erf}(z) に表記を固定します。

・誤差関数は複素平面全体で正則です。

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相補誤差関数

Complementary Error Function

\operatorname{erfc}(z)
erfc⁡(z)=1−erf⁡(z)\operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z)erfc(z)=1−erf(z)

・INTEGRALISでは立体の \operatorname{erfc}(z) に表記を固定します。

・実数 x に対して \operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}\,dt です。

・相補誤差関数は複素平面全体で正則です。

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対数積分

Logarithmic Integral

\operatorname{li}(x)
li⁡(x)=PV ⁣∫0xdtln⁡t=Ei(ln⁡x)(x>0, x≠1)\operatorname{li}(x)=\mathrm{PV}\!\int_0^x\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{Ei}(\ln x)\qquad(x>0,\ x\ne1)li(x)=PV∫0x​lntdt​=Ei(lnx)(x>0, x=1)

・INTEGRALISでは小文字の \operatorname{li}(x) を対数積分に用います。

・\mathrm{Li}_s(z) は多重対数関数であり、対数積分とは別の関数です。

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エアリー関数

Airy Function

\operatorname{Ai}(z)
Ai⁡(x)=1π∫0∞cos⁡ ⁣(t33+xt) dt(x∈R)\operatorname{Ai}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\cos\!\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)\,dt\qquad(x\in\mathbb{R})Ai(x)=π1​∫0∞​cos(3t3​+xt)dt(x∈R)

・INTEGRALISでは第一種エアリー関数を \operatorname{Ai}(z) と表します。

・複素引数では実軸上の定義から解析接続された整関数を意味します。

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第二種エアリー関数

Airy Function of the Second Kind

\operatorname{Bi}(z)
Bi⁡(x)=1π∫0∞e−t3/3+xt dt+1π∫0∞sin⁡ ⁣(t33+xt) dt(x∈R)\operatorname{Bi}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-t^3/3+xt}\,dt+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\sin\!\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)\,dt\qquad(x\in\mathbb{R})Bi(x)=π1​∫0∞​e−t3/3+xtdt+π1​∫0∞​sin(3t3​+xt)dt(x∈R)

・INTEGRALISでは第二種エアリー関数を \operatorname{Bi}(z) と表します。

・複素引数では実軸上の定義から解析接続された整関数を意味します。

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第一種ベッセル関数

Bessel Function of the First Kind

J_\nu(z)
Jν(z)=(z2)ν∑k=0∞(−1)kk! Γ(ν+k+1)(z24)kJ_\nu(z)=\left(\frac{z}{2}\right)^\nu\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\frac{z^2}{4}\right)^kJν​(z)=(2z​)νk=0∑∞​k!Γ(ν+k+1)(−1)k​(4z2​)k

・INTEGRALISでは第一種ベッセル関数を J_\nu(z) と表します。

・\nu\in\mathbb{Z} では z の整関数です。非整数次数では、特記がない限りDLMFの主値規約を用います。

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第二種ベッセル関数

Bessel Function of the Second Kind

Y_\nu(z)
Yν(z)=Jν(z)cos⁡(πν)−J−ν(z)sin⁡(πν)(ν∉Z)Y_\nu(z)=\frac{J_\nu(z)\cos(\pi\nu)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\pi\nu)}\qquad(\nu\notin\mathbb{Z})Yν​(z)=sin(πν)Jν​(z)cos(πν)−J−ν​(z)​(ν∈/Z)

・整数次数では右辺の \nu\to n の極限によって定義します。

・複素引数では、特記がない限りDLMFの主値規約を用います。

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第一種変形ベッセル関数

Modified Bessel Function of the First Kind

I_\nu(z)
Iν(z)=(z2)ν∑k=0∞1k! Γ(ν+k+1)(z24)kI_\nu(z)=\left(\frac{z}{2}\right)^\nu\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\frac{z^2}{4}\right)^kIν​(z)=(2z​)νk=0∑∞​k!Γ(ν+k+1)1​(4z2​)k

・INTEGRALISでは第一種変形ベッセル関数を I_\nu(z) と表します。

・\nu\in\mathbb{Z} では z の整関数です。非整数次数では、特記がない限りDLMFの主値規約を用います。

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第二種変形ベッセル関数

Modified Bessel Function of the Second Kind

K_\nu(z)
Kν(z)=∫0∞e−zcosh⁡tcosh⁡(νt) dt(Re⁡z>0)K_\nu(z)=\int_0^{\infty}e^{-z\cosh t}\cosh(\nu t)\,dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)Kν​(z)=∫0∞​e−zcoshtcosh(νt)dt(Rez>0)

・INTEGRALISでは第二種変形ベッセル関数を K_\nu(z) と表します。

・積分表示の領域外では、DLMFの主値規約による解析接続された値を意味します。

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リーマンゼータ関数

Riemann Zeta Function

\zeta(s)
ζ(s)=∑n=1∞1ns(Re⁡s>1)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\qquad(\operatorname{Re}s>1)ζ(s)=n=1∑∞​ns1​(Res>1)

・Re(s)>1ではDirichlet級数で定義し、それ以外では解析接続された標準的なRiemannゼータ関数を意味します。

・s=1は留数1の単純極です。

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多重対数関数

Polylogarithm

\mathrm{Li}_s(z)
Lis(z)=∑n=1∞znns(∣z∣<1)\mathrm{Li}_s(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^s}\qquad(|z|<1)Lis​(z)=n=1∑∞​nszn​(∣z∣<1)

・級数の収束域外では解析接続された標準的なpolylogarithmを意味します。

・特殊値として \mathrm{Li}_s(1)=\zeta(s) の対応があります。

・複素引数でも、特記がない限りDLMFの主値規約を用います。

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フルヴィッツゼータ関数

Hurwitz Zeta Function

\zeta(s,a)
ζ(s,a)=∑n=0∞1(n+a)s(Re⁡s>1, Re⁡a>0)\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^s}\qquad(\operatorname{Re}s>1,\ \operatorname{Re}a>0)ζ(s,a)=n=0∑∞​(n+a)s1​(Res>1, Rea>0)

・一変数の \zeta(s) はリーマンゼータ関数、二変数の \zeta(s,a) はフルヴィッツゼータ関数です。

・級数の収束域外では解析接続された標準的な値を意味します。

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ランベルトのW関数

Lambert W Function

W(z)
W(z)eW(z)=zW(z)e^{W(z)}=zW(z)eW(z)=z

・INTEGRALISでは添字を省略した W(z) を主枝 W_0(z) とします。

・他の分枝は W_k(z) で表し、特に実数上の下側の枝は W_{-1}(z) とします。

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ガンマ関数

Gamma Function

\Gamma(z)
Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt(Re z>0)\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\mathrm{Re}\,z>0)Γ(z)=∫0∞​tz−1e−tdt(Rez>0)

・Re(z)>0ではEulerの積分で定義し、それ以外では解析接続された標準的なガンマ関数を意味します。

・z=0,-1,-2,… に単純極をもち、零点はもちません。

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下側不完全ガンマ関数

Lower Incomplete Gamma Function

\gamma(a,z)
γ(a,z)=∫0zta−1e−t dt(Re a>0)\gamma(a,z)=\int_0^z t^{a-1}e^{-t}\,dt\qquad(\mathrm{Re}\,a>0)γ(a,z)=∫0z​ta−1e−tdt(Rea>0)

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とし、必要に応じて解析接続された値を用います。

・上側不完全ガンマ関数との間に \gamma(a,z)+\Gamma(a,z)=\Gamma(a) の関係があります。

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上側不完全ガンマ関数

Upper Incomplete Gamma Function

\Gamma(a,z)
Γ(a,z)=∫z∞ta−1e−t dt\Gamma(a,z)=\int_z^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,dtΓ(a,z)=∫z∞​ta−1e−tdt

・複素引数ではDLMFの主値規約を基準とします。

・\Gamma(z) と \Gamma(a,z) は引数の個数で区別します。

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ベータ関数

Beta Function

\mathrm{B}(a,b)
B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1 dt=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)(Re a,Re b>0)\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\qquad(\mathrm{Re}\,a,\mathrm{Re}\,b>0)B(a,b)=∫01​ta−1(1−t)b−1dt=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)​(Rea,Reb>0)

・INTEGRALISではベータ関数を立体の \mathrm{B}(a,b) で表します。

・積分表示の収束域外では、右辺のガンマ関数による表示から解析接続された値を意味します。

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ポリガンマ関数

Polygamma Function

\psi^{(m)}(z)
ψ(m)(z)=dm+1dzm+1ln⁡Γ(z)(m=0,1,2,…)\psi^{(m)}(z)=\frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}}\ln\Gamma(z)\qquad(m=0,1,2,\ldots)ψ(m)(z)=dzm+1dm+1​lnΓ(z)(m=0,1,2,…)

・\psi^{(0)}(z)=\psi(z) はジガンマ関数、\psi^{(1)}(z) はトリガンマ関数です。

・INTEGRALISでは \psi'(z),\psi''(z) ではなく \psi^{(m)}(z) に表記を固定します。

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合流型超幾何関数

Kummer Confluent Hypergeometric Function

{}_1F_1(a;b;z)
1F1(a;b;z)=∑n=0∞(a)n(b)n n!zn{}_1F_1(a;b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(b)_n\,n!}z^n1​F1​(a;b;z)=n=0∑∞​(b)n​n!(a)n​​zn

・INTEGRALISではKummerのM関数を用いず、{}_1F_1(a;b;z) に表記を固定します。

・b=0,-1,-2,\ldots の場合を除き、級数はすべての z で収束します。

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Gauss超幾何関数

Gauss Hypergeometric Function

{}_2F_1(a,b;c;z)
2F1(a,b;c;z)=∑n=0∞(a)n(b)n(c)n n!zn(∣z∣<1){}_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\,n!}z^n\qquad(|z|<1)2​F1​(a,b;c;z)=n=0∑∞​(c)n​n!(a)n​(b)n​​zn(∣z∣<1)

・級数の収束域外では解析接続されたGauss超幾何関数を意味します。

・複素zでは、特記がない限りDLMFの主枝を用います。

・(a)_n はPochhammer記号です。

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問題文辞典の運用方針

複数の慣習が存在する記号は、文脈任せにせずINTEGRALIS側で一つの規約をここに固定します。

複素関数は、特記がない限り各項目に記載した標準枝・主値規約を適用します。

未掲載の関数は特殊関数・公式集の追加要望から提案でき、表記と定義を審査したうえでこの辞典へ追加します。